基于分形理論，利用MATLAB 開發密封環端面激光共聚焦掃描圖像分形維數計算及分析程序，利用Sierpinski地毯對程序的計算結果進行標定，計算不同分割閾值下的圖像分形維數，給出一種分割閾值的選取方法。研究結果表明: 設計開發的分形維數計算程序具有較高的準確性; 圖像分割閾值的選取對密封環端面分形維數的計算有重要影響，給出的分割閾值選取方法，能使圖像二值化效果最佳，使掃描圖像能最大程度地反映密封環端面形貌的分形特征，從而提高密封環端面形貌定量描述的精確度。

　　密封環端面的形貌是機械密封加工和工作過程中表現出來的重要特征，它對機械密封的摩擦特性和密封特性具有重要影響。研究密封環摩擦副粗糙表面的固有特性，正確表征摩擦副的表面形貌，對了解密封端面間的泄漏通道狀況，以及提高機械密封動靜環接觸端面的磨合質量具有重要的意義。

　　20 世紀70 年代，法國數學家Mandelbrot正式提出并創立了一種探索自然界復雜形態的數學分支———分形幾何學。分形幾何能夠在更深層次上深刻地描述、研究和分析普遍存在的雜亂無章的、不規則的、隨機的自然現象，在摩擦磨損領域中引入分形理論實現了對摩擦副粗糙表面形貌的科學的定量描述，從而推動了機械密封端面形貌與探尋密封泄漏通道的研究。在一些基于分形理論的機械密封端面研究中，大多采用W-M 或M-B 函數來表征和模擬密封端面，同時利用功率譜法和結構函數法來研究輪廓曲線的分形特性，但是函數模擬只能得到統計意義上的形貌，并不能全部反映密封端面的泄漏通道情況，因此利用掃描圖像來研究密封端面的形貌特征就具有重要的意義。在以往一些基于掃描圖像的分形特征研究中，多結合圖像處理技術對圖像進行預處理，然后利用計盒維數等方式求取二值化后圖像的分形維數，然而二值化過程中閾值的選取對圖像的特征表現和分形維數計算具有重要的影響，所選取的分割閾值應能最大程度地將密封端面掃描圖像的分形特征表現出來。

　　本文作者擬利用密封環端面的激光共聚焦掃描圖像，通過MATLAB 編程計算密封端面的分形維數，討論二值化過程中分割閾值選取對分形維數的影響，給出一種圖像分割閾值的選取方法，突出圖像的自相似特征，從而為密封環端面的分形表征提供一種快速、精確的新方法。

　　1、基于MATLAB 的分形維數算法設計

　　分形維數是分形幾何理論中最重要的基本概念之一，目前已經有很多維數的定義，主要包括Hausdorff維數、計盒維數(CBD) 、修正計盒維數、填充維數等。Hausdorff 維數是分形幾何理論的基礎，可以說分形幾何的理論體系是建立在這一基礎之上，但是Hausdorff 維數只適合分形幾何的理論推導，只能通過分析的方法獲得一小類規則的純數學分形的Hausdorff維數，它對實際應用中提出的分形維數的計算問題無能為力。鑒于此，人們提出了計盒維數的概念，由于計盒維數物理含義直觀，易于進行程序化計算，因此得到了廣泛的應用。

　　1.1、計盒維數的原理

　　設A 是Rn 空間的任意非空有界子集，對于任意一個r>0，Nr(A) 表示用來覆蓋A 所需邊長為r 的n維盒子的最小數目。如果存在一個數DB，使得當r→0 時，有

　　計盒維數這個形式的定義在實際中有廣泛的應用。在計算一個平面集A 的計盒維數時，可以構造一系列邊長為r 的正方形，然后計算不同r 值的盒子與A 相交的個數Nr(A) ， 這個維數是當r→0 時，Nr(A) 增加的對數速率，或者可以由函數lnNr( A) 相對于lnr 圖的斜率的負值來估計。

　　1.2、程序設計

　　圖像在計算機中是以矩陣的形式存儲，一幅長度為M 個像素，寬度為N 個像素的圖像，可以看成是一個M×N 的矩陣，矩陣的每一個元素代表一個像素，元素的值是像素點顏色或索引色。利用激光共聚焦獲得的密封環端面圖像是RGB 格式，無法直接進行計盒維數的計算，因此需要對圖像進行預處理，包括灰度變換、平滑濾波、降噪等，再選取一個合適的分割閾值，將圖像二值化，這樣就將圖像處理成只包含0 (孔隙) 和1(固體骨架) 的二值矩陣。根據計盒維數的原理，可以通過MATLAB 編寫程序計算計盒維數，步驟如下：

　　(1) 讀取二值化的密封環端面圖像，并將其數值矩陣賦值給變量H；

　　(2) 用不同邊長尺寸的正方形盒子對矩陣H 進行覆蓋，統計在不同尺寸r 下包含目標像素(0—孔隙) 的盒子數，計入數組Nr中；

　　(3) 在雙對數坐標中利用最小二乘法對(lnr，lnNr) 進行擬合，得到直線斜率的負數即為圖像的計盒維數。

　　程序的流程圖如圖1 所示。

圖1 MATLAB 計算計盒維數程序流程圖

　　1.3、程序驗證

　　為了驗證設計程序的正確性，采用5級Sierpinski地毯作為標定圖像，將計算結果與標準結果進行對比�？梢钥闯�，本文的計算結果與理論維數相對誤差非常小，說明本文作者設計的程序是可行的，同時也具有很高的精確度。

2、結論

　　(1) 利用MATLAB 圖像處理，結合分形的基本理論，設計開發了基于MATLAB的分形維數計算分析程序，利用Sierpinski地毯進行標定，驗了程序的可行性和準確性。

　　(2) 分割閾值的選取對分形維數的計算具有重要影響，隨著閾值的增大，分形維數總體上呈逐漸增大的趨勢；給出的分割閾值選取的方法，能夠使密封環端面圖像中的孔隙結構最大化地表現出來，提高了分形維數計算的精確度。

　　(3) 密封端面形貌具有高度的自相似特征，利用密封端面共聚焦掃描圖像結合分形理論，可以實現對密封端面形貌的快速、準確的定量描述，這對于揭示密封端面的泄漏通道具有重要的意義。